Sở Giáo dục và đào tạo
thanh hoá

Đề chính thức


Đáp án Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Năm học: 2009 - 2010
Môn thi: Toán
Lớp: 12
Ngày thi: 24/ 03/ 2010
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề thi)





Bài
Ý
Hướng dẫn chấm
Điểm

Bài 1
4 điểm
1
3đ

- Tập xác định R.
- Sự biến thiên:
* y` = - 3x2 + 3 = 3(1 - x2)
y` = 0


0,25
0,25



* y` < 0
hàm số nghịch biến trong khoảng
và (1; +
)
* y` > 0
-1 < x < 1 hàm số đồng biến trong khoảng (-1; 1).
Điểm cực đại (1; 1). Điểm cực tiểu (-1; -3)
0,5


0,25



Giới hạn
. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
0,25



Bảng biến thiên
x
-
-1 1 +


y`
 - + -


y

1

-3





0,75



- Đồ thị đi qua điểm (-2; 1) và (2; -3).
y
Điểm uốn I(0; -1) là tâm đối xứng
1


-2 -1 I 1 2 x



-3








0,75


2
1đ

Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(-2; 1) có hệ số góc k:
y = k(x + 2) + 1
Đường thẳng tiếp xúc với (C) nên hẹ sau có nghiệm

(1)


0,25


0,25



(1)


Vậy có hai tiếp tuyến với đồ thị (C) thoả mãn bài toán là:
y = 1 và y = - 9x -17


0,25


0,25

Bài 2
6 điểm
1
2đ

Điều kiện sin
k
Z


0,25



Phương trình đã cho tương đương với phương trình:



0,5



0,5


0,5




0,25



* cosx = 0 kết hợp với điều kiện
suy ra
x =
với t
Z
* cosx =
với m; n
Z
Phương trình đã cho có ba họ nghiệm là:
x =
; x =
và x =
với t, m, n
Z



2
2đ
Điều kiện:

Hệ phương trình đã cho





0,5




0,5




Xét phương trình: 4(x - y) =
Đặt t = x - y > 0

Nhận thấy: t = 1 và t =
là nghiệm của phương trình.
Xét hàm số f(t) =
(t > 0) f`(t) = 4 -
ln4
f`(t) = 0 có duy nhất một nghiệm:

Do đó f(t) = 0 chỉ có hai nghiệm.
Từ cách đặt suy ra hệ đã cho tương đương với

Suy ra nghiệm của hệ là
;





0,5







0,5


3
2đ
Đặt t =

t2 = -x2 + 2x + 24
x2 - 2x = 24 - t2
Bất phương trình trở thành: t + 24 - t2
m ; t

0,5

0,5



Xét hàm số f(t) = -t2 + t + 24 trên đoạn

Ta có bảng biến thiên sau:
t
0
5


f(t)



24 4

Từ đó suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x




Vậy m
4





1,0

Bài 3
3 điểm
1
1,5đ

Đặt t =
suy ra x = t2; dx = 2t dt

I =




0,5



Đặt

I = 2t tant

I =